曲边梯形的面积与黎曼和

实验目的

体会“以直代曲”和极限思想，理解定积分是黎曼和的极限。

实验原理

将区间 [a,b] 等分为 n 份，每份宽 Δx=(b-a)/n。在每个小区间内取一点 ξi，以 f(ξi) 为高作矩形，其面积之和 Sn=Σ f(ξi)Δx（i 从 1 到 n）。当 n 无限增大时，若 Sn 趋于确定的值，则该值就是曲边梯形的面积，也就是定积分 ∫ f(x)dx（上下限为 b、a，f(x)≥0）。

实验器材

• 曲线 y=f(x) 与 x 轴围成的曲边梯形
• 区间 [a,b]
• 分割份数 n
• 小矩形（取左端点、右端点或其他取点方式）
• 矩形面积之和（黎曼和）

实验步骤

1. 观察曲线、x 轴和区间两端点围成的曲边梯形
2. 把区间分成较少的几份，观察矩形与曲边梯形的差异
3. 逐步增大分割份数 n，观察矩形面积之和的变化
4. 改变取点方式（如左端点、右端点），比较黎曼和的大小
5. 记录 n 很大时黎曼和趋近的数值

实验现象与结论

n 较小时，矩形与曲边梯形之间有明显空隙或多出部分；n 增大后，矩形越来越窄，面积之和逐渐稳定并趋近曲边梯形面积。对单调函数，左、右端点取法得到的黎曼和一个偏小、一个偏大，随 n 增大都趋近同一个值。

常见问题

黎曼和与定积分是什么关系？

黎曼和是有限个小矩形面积之和，当分割越来越细、n 趋于无穷时，它的极限就是定积分的值。

取左端点和右端点结果为什么不同？

矩形高度不同。函数递增时，左端点取法偏小，右端点取法偏大；n 增大后两者差距缩小。