一元二次不等式的解集

实验目的

会借助二次函数图像，在不同 Δ 情形下写出一元二次不等式的解集。

实验原理

设 a>0。Δ>0 时方程有两根 x₁<x₂：ax²+bx+c>0 的解集为 {x|x<x₁ 或 x>x₂}，ax²+bx+c<0 的解集为 {x|x₁<x<x₂}。Δ=0 时，>0 的解集为 {x|x≠−b/(2a)}，<0 的解集为空集。Δ<0 时，>0 的解集为 R，<0 的解集为空集。a<0 时可先两边同乘 −1 化为 a>0。

实验器材

• 二次函数 y=ax²+bx+c 的图像
• 系数 a、b、c 的滑块
• 抛物线与 x 轴的交点
• x 轴上方、下方的图像部分
• 解集区间的标注

实验步骤

1. 取 a>0 且 Δ>0，找出两个交点 x₁、x₂。
2. 观察图像在 x 轴上方的部分，写出 >0 的解集。
3. 观察图像在 x 轴下方的部分，写出 <0 的解集。
4. 调节使 Δ=0，再使 Δ<0，分别写出两类不等式的解集。
5. 把 a 改为负数，比较解集的变化。

实验现象与结论

a>0 且 Δ>0 时，>0 的解集在两根之外，<0 的解集在两根之间。Δ=0 时图像只在一点与 x 轴相切。Δ<0 时图像整体在 x 轴上方，>0 的解集为 R。a<0 时上下方的对应关系与 a>0 相反。

常见问题

解一元二次不等式的基本步骤是什么？

先化为 a>0 的标准形式，求对应方程的根，再结合图像写出解集。

Δ<0 时 ax²+bx+c>0 的解集一定是 R 吗？

只有 a>0 时才是 R；若 a<0，图像在 x 轴下方，解集为空集。