二次函数交点式 y=a(x−x₁)(x−x₂)

实验目的

理解交点式中各参数的几何意义，会由两个交点和另一点确定二次函数的解析式。

实验原理

当 a≠0 时，令 y=0 得 x=x₁ 或 x=x₂，所以抛物线与 x 轴交于 (x₁,0)、(x₂,0)。对称轴为直线 x=(x₁+x₂)/2，顶点纵坐标为 −a(x₁−x₂)²/4。a>0 时开口向上，a<0 时开口向下，|a| 越大开口越小。

实验器材

• 二次函数图像（交点式）
• 参数 a 的滑块
• 参数 x₁ 的滑块
• 参数 x₂ 的滑块
• x 轴上的两个交点
• 对称轴与顶点

实验步骤

1. 观察当前 a、x₁、x₂ 的值，以及抛物线与 x 轴的交点位置。
2. 只改变 a，观察开口方向和开口大小的变化。
3. 只改变 x₁ 或 x₂，观察交点、对称轴和顶点如何移动。
4. 让 x₁ 与 x₂ 相等，观察抛物线与 x 轴的位置关系。
5. 再取 a、x₁、x₂ 的几组值，写出解析式并与图像核对。

实验现象与结论

a 的符号决定开口方向，|a| 越大开口越窄。x₁、x₂ 改变时，两个交点沿 x 轴移动，对称轴始终位于两交点正中间。x₁=x₂ 时抛物线与 x 轴只有一个公共点，顶点落在 x 轴上。

常见问题

什么情况下可以用交点式求二次函数解析式？

已知抛物线与 x 轴的两个交点坐标，再加上另一个点的坐标时，设交点式求出 a 即可。

交点式中 a 能等于 0 吗？

不能。a=0 时函数变成一次函数或常数函数，不再是二次函数。