顶点式 y=a(x−h)²+k 与图像平移

实验目的

理解顶点式中 h、k 的几何意义，掌握抛物线平移规律。

实验原理

抛物线 y = a(x − h)² + k 的顶点坐标为 (h, k)，对称轴为直线 x = h。它可以由 y = ax² 平移得到：h > 0 时向右平移 h 个单位，h < 0 时向左平移 |h| 个单位；k > 0 时向上平移 k 个单位，k < 0 时向下平移 |k| 个单位。平移不改变 a，因此开口方向和大小不变。

实验器材

• 二次函数 y = a(x − h)² + k 的图像
• 参数 a、h、k 的滑动条
• 抛物线的顶点标记
• 对称轴
• 参照抛物线 y = ax²

实验步骤

1. 令 h = 0、k = 0，观察 y = ax² 的图像和顶点位置。
2. 只改变 h，观察顶点和对称轴左右移动。
3. 只改变 k，观察顶点上下移动。
4. 同时改变 h 和 k，读出顶点坐标并对照公式。
5. 改变 a，确认平移时开口方向和大小保持不变。

实验现象与结论

顶点始终在 (h, k)，对称轴始终是直线 x = h。h 变化时图像左右平移，k 变化时图像上下平移，图形的形状不变。结论：顶点式中的 h、k 分别决定抛物线的水平和竖直位置。

常见问题

y = (x + 2)² 的图像怎样由 y = x² 得到？

y = (x + 2)² 即 h = −2，把 y = x² 的图像向左平移 2 个单位得到。

顶点式中的 h 为什么是“减”？

顶点式写作 (x − h)²，x = h 时括号为 0，所以顶点横坐标是 h；x + 2 对应 h = −2。