判别式与二次函数图像和 x 轴的交点

实验目的

掌握 Δ 的符号与抛物线和 x 轴交点个数的对应关系。

实验原理

抛物线 y=ax²+bx+c（a≠0）与 x 轴的交点横坐标就是方程 ax²+bx+c=0 的实数根。Δ>0 时方程有两个不相等的实根，图像与 x 轴有两个交点；Δ=0 时有两个相等的实根，图像与 x 轴相切；Δ<0 时无实根，图像与 x 轴没有交点。

实验器材

• 二次函数 y=ax²+bx+c 的图像
• 系数 a 的滑块
• 系数 b 的滑块
• 系数 c 的滑块
• 判别式 Δ 的数值显示
• x 轴上的交点

实验步骤

1. 任取一组 a、b、c，记下 Δ 的值和图像与 x 轴的交点个数。
2. 调节 c，使 Δ 由正变到负，观察交点个数的变化。
3. 调节参数使 Δ=0，观察抛物线顶点与 x 轴的位置关系。
4. 保持 b、c 不变，改变 a 的符号，观察图像和 Δ 的变化。
5. 把三种情况的 Δ 符号和交点个数整理成表。

实验现象与结论

Δ>0 时抛物线穿过 x 轴，有两个交点；Δ=0 时抛物线顶点恰好落在 x 轴上，只有一个公共点；Δ<0 时抛物线整体在 x 轴上方或下方，没有交点。交点个数只与 Δ 的符号有关。

常见问题

Δ=0 时为什么说抛物线与 x 轴只有一个交点？

此时方程有两个相等的实根，两个交点重合，即顶点在 x 轴上，图像与 x 轴相切。

Δ<0 时抛物线一定在 x 轴上方吗？

不一定。a>0 时在 x 轴上方，a<0 时在 x 轴下方。