二次函数的对称轴与最值

实验目的

理解对称轴与顶点的关系，会求二次函数在全体实数及闭区间上的最值。

实验原理

y = ax² + bx + c 的对称轴为 x = −b/(2a)。当 a > 0 时，函数在 x = −b/(2a) 处取最小值 (4ac − b²)/(4a)，无最大值；当 a < 0 时，取最大值 (4ac − b²)/(4a)，无最小值。在闭区间上，需比较顶点（若在区间内）和两个端点的函数值，最大者为最大值，最小者为最小值。

实验器材

• 二次函数 y = ax² + bx + c 的图像
• 参数 a、b、c 的滑动条
• 对称轴和顶点标记
• 可调节的自变量区间

实验步骤

1. 调节 a、b、c，观察对称轴 x = −b/(2a) 的位置变化。
2. 分别取 a > 0 和 a < 0，观察顶点是最低点还是最高点。
3. 读出顶点纵坐标，对照最值公式。
4. 设定闭区间，如 y = x² − 2x − 3 在 [0, 3] 上，找出顶点和端点。
5. 比较顶点和端点的函数值，确定区间上的最大值和最小值。

实验现象与结论

a > 0 时顶点为最低点，a < 0 时为最高点。对 y = x² − 2x − 3 在 [0, 3] 上，顶点 (1, −4) 在区间内，x = 0 时 y = −3，x = 3 时 y = 0，故最小值为 −4，最大值为 0。

常见问题

求二次函数在闭区间上的最值怎么做？

先求对称轴，判断顶点是否在区间内，再比较顶点（若在区间内）和两端点的函数值。

二次函数一定既有最大值又有最小值吗？

不一定。在全体实数范围内只有一个最值，a > 0 只有最小值，a < 0 只有最大值。