二次函数的根与系数的关系

实验目的

通过图像验证根与系数的关系，并能用它解决简单的求值问题。

实验原理

设 ax²+bx+c=0（a≠0）有两个实根 x₁、x₂，则 ax²+bx+c=a(x−x₁)(x−x₂)。展开并比较系数，得 x₁+x₂=−b/a，x₁x₂=c/a。使用时需先保证 Δ=b²−4ac≥0，即方程有实数根。

实验器材

• 二次函数 y=ax²+bx+c 的图像
• 系数 a、b、c 的滑块
• 抛物线与 x 轴的两个交点
• x₁+x₂ 与 −b/a 的数值
• x₁x₂ 与 c/a 的数值

实验步骤

1. 调节 a、b、c，使抛物线与 x 轴有两个交点，读出 x₁、x₂。
2. 计算 x₁+x₂，与 −b/a 的值对比。
3. 计算 x₁x₂，与 c/a 的值对比。
4. 改变系数再试几组，检验结果是否仍然成立。
5. 调节使 Δ<0，观察交点消失后实数根不再存在。

实验现象与结论

只要抛物线与 x 轴有交点，两个交点横坐标之和总等于 −b/a，之积总等于 c/a。系数变化时两根随之变化，但这两个关系始终成立。Δ=0 时两根相等，关系依然成立。

常见问题

根与系数的关系什么时候可以使用？

方程为一元二次方程且有实数根，即 a≠0 且 Δ≥0 时可以使用。

怎样用它求 x₁²+x₂² 的值？

先把它写成 (x₁+x₂)²−2x₁x₂，再代入两根之和与两根之积。