将军饮马最短路径动态演示

实验目的

会用轴对称求直线上一点，使该点到同侧两定点的距离之和最小。

实验原理

设A、B在直线l同侧。作点A关于l的对称点A′，连接A′B交l于点P，则P即为所求，最短路程为A′B。理由：l上任意点Q都有QA=QA′，故QA+QB=QA′+QB≥A′B，当Q与P重合（A′、P、B共线）时取等号。

实验器材

• 直线l（河岸）
• 定点A、B
• A关于l的对称点A′
• 直线上的动点P
• 线段A′B

实验步骤

1. 观察直线l及同侧两点A、B。
2. 在l上拖动点P，观察PA+PB的变化。
3. 作点A关于直线l的对称点A′。
4. 连接A′B，交点即为PA+PB最小时的点P。
5. 把P移到交点，与其他位置对比。

实验现象与结论

点P在直线上移动时，PA+PB不断变化；P位于A′B与直线的交点时，和最小，等于线段A′B的长。此时PA、PB与直线所成的两个角相等。结论：利用轴对称把折线化为线段，可求最短路径。

常见问题

若A、B在直线两侧怎么办？

直接连接AB，与直线的交点即为所求点P，不需要作对称点。

为什么要作对称点？

对称点使PA=PA′，把折线A-P-B转化为A′-P-B，再用两点之间线段最短。