无理数指数幂的有理逼近

实验目的

理解无理数指数幂的意义，体会用有理数逼近的思想。

实验原理

√2=1.41421356…，取它的不足近似值 1.4、1.41、1.414、1.4142…，对应的 2^1.4、2^1.41、2^1.414、2^1.4142… 是一列递增的有理数指数幂，逐渐趋近一个确定的实数，这个实数就是 2^√2。实数指数幂同样满足有理数指数幂的运算性质。

实验器材

• 无理数 √2 的小数展开
• 不足近似值 1.4、1.41、1.414、1.4142
• 对应的有理数指数幂 2^r
• 幂值的逼近过程
• 指数函数 y=2^x 的图像

实验步骤

1. 写出 √2 的小数展开 1.41421356…。
2. 依次取 1.4、1.41、1.414、1.4142 作为指数。
3. 分别计算 2^1.4、2^1.41、2^1.414、2^1.4142。
4. 观察这些幂值的变化趋势。
5. 在 y=2^x 图像上找到 x=√2 对应的点。

实验现象与结论

2^1.4≈2.6390，2^1.41≈2.6574，2^1.414≈2.6648，2^1.4142≈2.6651，幂值逐渐增大并趋近约 2.6651。结论：2^√2 是一个确定的实数，指数函数的定义域可以扩大到全体实数。

常见问题

2 的 √2 次方等于多少？

它是一个确定的无理数，约等于 2.6651，可用有理数指数幂逐步逼近。

为什么要用有理数逼近无理数指数幂？

无理数不能写成分数，所以用有理数指数幂逼近，才能给无理指数幂赋予确定的意义。