函数图像的平移、伸缩与翻折

实验目的

掌握函数图像平移、伸缩、对称与翻折的规律,并能由 y=f(x) 的图像作出变换后的图像。

实验原理

平移:y=f(x+a) 的图像由 y=f(x) 向左(a>0)或向右(a<0)平移 |a| 个单位得到;y=f(x)+b 向上(b>0)或向下(b<0)平移 |b| 个单位。伸缩:y=Af(x) 是纵坐标变为原来的 A 倍,y=f(ωx) 是横坐标变为原来的 1/ω 倍。对称:y=-f(x) 与 y=f(x) 关于 x 轴对称,y=f(-x) 关于 y 轴对称。翻折:y=|f(x)| 把 x 轴下方部分翻折到上方;y=f(|x|) 保留 y 轴右侧部分,再作其关于 y 轴的对称图形。

实验器材

• 基础函数 y=f(x) 的图像
• 平移参数 a、b
• 伸缩参数 A、ω
• 对称与翻折选项
• 变换前后图像对比区

实验步骤

1. 选定一个基础函数,观察 y=f(x) 的图像。
2. 改变参数 a,观察 y=f(x+a) 的图像如何左右移动。
3. 改变参数 b,观察 y=f(x)+b 的图像如何上下移动。
4. 改变 A 和 ω,观察纵向、横向伸缩的效果。
5. 选择对称变换,对比 y=-f(x) 与 y=f(-x)。
6. 选择翻折变换,观察 y=|f(x)| 与 y=f(|x|) 的图像。
7. 换一个基础函数,再验证以上规律。

实验现象与结论

a>0 时,y=f(x+a) 的图像向左移,与"加号向右"的直觉相反。A>1 时图像纵向拉长,ω>1 时图像横向压缩。y=|f(x)| 的图像全部在 x 轴上方或 x 轴上;y=f(|x|) 的图像关于 y 轴对称。变换可以按先后次序逐步作出。

常见问题

y=f(x+1) 的图像是向左还是向右平移?

向左平移 1 个单位。一般地,y=f(x+a) 在 a>0 时向左平移 a 个单位。

y=|f(x)| 与 y=f(|x|) 的图像有什么区别?

前者把 x 轴下方部分翻折到上方;后者保留 y 轴右侧部分,再作关于 y 轴的对称图形。