对数的换底公式

实验目的

理解换底公式及其推论，会用它化简、计算对数。

实验原理

设 a>0，a≠1，c>0，c≠1，b>0，则 log_a b = log_c b / log_c a。推论：log_a b · log_b a = 1（a、b 均大于0且不等于1）；log_(a^m)(b^n) = (n/m)·log_a b。例如 log_2 3 = lg3/lg2，约等于 1.585。

实验器材

• 对数式 log_a b
• 新底数c的选择控件
• 换底后的商式 log_c b / log_c a
• 两边数值对照表

实验步骤

1. 设定底数a和真数b，计算 log_a b。
2. 选择新底数c（如10或e）。
3. 计算 log_c b 与 log_c a，求出它们的商。
4. 对比商与原对数的值是否相等。
5. 更换c，验证结果不随新底数变化。

实验现象与结论

无论新底数c取何值，log_c b / log_c a 的结果都与 log_a b 相等。换底后 log_a b · log_b a 恒等于1。结论：换底公式可以把任意底数的对数转化为同底对数，便于计算和化简。

常见问题

换底公式中新底数c怎么选？

c>0且c≠1即可，计算时常选10或e，便于查表或使用计算器。

log_a b · log_b a 等于多少？

等于1，由换底公式可得，要求 a、b 均大于0且不等于1。