微分与线性近似演示

实验目的

理解微分的几何意义,会用线性近似估算函数值。

实验原理

若 f 在 x0 处可导,则 Δy=f'(x0)Δx+o(Δx),其中线性主部 dy=f'(x0)Δx 称为微分。当 |Δx| 很小时 Δy≈dy,即 f(x)≈f(x0)+f'(x0)(x-x0)。例如取 f(x)=√x,x0=1,得 √1.02 ≈ 1+0.5×0.02 = 1.01(精确值约 1.00995)。

实验器材

• 函数曲线 y=f(x)
• 切点 (x0, f(x0))
• 切线
• 改变量 Δx 的滑块
• Δy、dy 及其差值的数值读数

实验步骤

1. 选择函数(如 y=√x)和切点 x0=1。
2. 取 Δx=0.5,观察 Δy 与 dy 的差距。
3. 逐步减小 Δx 到 0.1、0.02,比较两者变化。
4. 放大切点附近的图像,观察曲线与切线是否几乎重合。
5. 用线性近似公式估算 √1.02,并与精确值对照。

实验现象与结论

Δx 越小,Δy 与 dy 越接近,两者之差比 Δx 更快趋于 0;曲线与切线在切点附近几乎重合,离切点越远误差越大。曲线弯曲越明显,线性近似有效的范围越小。

注意事项

• 线性近似只在 x0 附近有效。
• 估算时应写明所取的 f 与 x0。

常见问题

dy 和 Δy 有什么区别?

Δy 是函数的真实增量,dy 是切线上的增量;Δx 很小时两者近似相等。

线性近似误差有多大?

误差是 Δx 的高阶无穷小,即 o(Δx);离切点越远通常越大。