复指数螺旋与正弦、余弦投影

实验目的

理解复指数的螺旋轨迹，以及实部、虚部随时间变化的规律。

实验原理

e^((a+bi)t)=e^(at)(cos bt + i·sin bt)。模为 e^(at)，辐角为 bt。a=0 时轨迹是单位圆，实部 cos bt、虚部 sin bt；a>0 时模逐渐增大，成向外的螺旋；a<0 时模逐渐减小，成向内的螺旋。

实验器材

• 复平面
• 参数 a（增长或衰减率）的滑块
• 参数 b（角速度）的滑块
• 沿轨迹运动的点
• 在实轴上的投影曲线
• 在虚轴上的投影曲线

实验步骤

1. 令 a=0，播放运动，观察点沿单位圆匀速转动。
2. 观察点在实轴、虚轴上的投影，分别画出余弦和正弦曲线。
3. 增大 b，观察转得更快、曲线更密。
4. 令 a>0，观察轨迹变成向外扩张的螺旋，投影振幅增大。
5. 令 a<0，观察轨迹向内收缩，投影振幅逐渐衰减。

实验现象与结论

a=0 时点作匀速圆周运动，两个投影分别是余弦和正弦曲线。a>0 时轨迹向外盘旋，振幅增大；a<0 时向内盘旋，振幅衰减。b 决定转动快慢，即投影曲线的频率。

常见问题

为什么圆周运动的投影是正弦曲线？

点 e^(ibt) 的纵坐标就是 sin bt，横坐标是 cos bt，所以投影是正弦、余弦曲线。

参数 a 和 b 各起什么作用？

a 决定模的增长或衰减，b 决定转动的快慢，也就是频率。