复数乘法：旋转与伸缩

实验目的

理解复数乘法的几何意义，掌握“模相乘、辐角相加”的规律。

实验原理

设 z₁=r₁(cosθ₁+i·sinθ₁)，z₂=r₂(cosθ₂+i·sinθ₂)，由两角和的正弦、余弦公式得 z₁z₂=r₁r₂[cos(θ₁+θ₂)+i·sin(θ₁+θ₂)]。即 |z₁z₂|=|z₁||z₂|，辐角为 θ₁+θ₂（可相差 2π 的整数倍）。

实验器材

• 复平面
• 可拖动的复数点 z₁
• 可拖动的复数点 z₂
• 乘积点 z₁z₂
• 各点的模与辐角读数

实验步骤

1. 固定 z₁，把 z₂ 设为模为 1 的点，改变它的辐角，观察乘积绕原点旋转。
2. 把 z₂ 设为正实数，观察乘积沿 z₁ 方向伸长或缩短。
3. 任意拖动 z₂，读出 |z₁|、|z₂| 和 |z₁z₂|，核对模的关系。
4. 读出三个点的辐角，核对 θ₁+θ₂ 是否等于乘积的辐角。
5. 让 |z₂|<1，观察乘积比 z₁ 更靠近原点。

实验现象与结论

乘积的模等于两个模的积，辐角等于两个辐角的和。|z₂|=1 时乘积只是 z₁ 的旋转；z₂ 为正实数时只是伸缩；一般情况是旋转加伸缩。

常见问题

复数除法的几何意义是什么？

z₁÷z₂ 时模相除、辐角相减，相当于反向旋转并按 |z₂| 缩放。

乘积的辐角超过 2π 怎么办？

辐角可相差 2π 的整数倍，减去 2π 的整数倍取到主值范围即可。