用极限(1+iθ/n)ⁿ理解欧拉公式

实验目的

理解 e^(iθ) 可以看作极限 lim(1+iθ/n)ⁿ，并由此得到欧拉公式。

实验原理

1+iθ/n 的模为 √(1+θ²/n²)，辐角为 arctan(θ/n)。取n次幂后，模为 (1+θ²/n²)^(n/2)，辐角为 n·arctan(θ/n)。当 n→∞ 时，模趋于1，辐角趋于θ，所以 lim(1+iθ/n)ⁿ = cosθ + i sinθ = e^(iθ)。

实验器材

• 复平面坐标系
• 单位圆
• 参数θ的调节滑块
• 整数n的调节滑块
• 动点 (1+iθ/n)ⁿ
• 目标点 e^(iθ)

实验步骤

1. 设定θ的值，例如取 θ=π/2。
2. 取较小的n（如 n=1），记下动点 (1+iθ/n)ⁿ 的位置。
3. 逐步增大n，观察动点的移动方向和轨迹。
4. 比较动点与单位圆上辐角为θ的点 e^(iθ) 的距离。
5. 改变θ的值，重复观察，检验结论是否一致。

实验现象与结论

n较小时，动点偏离单位圆，模略大于1，辐角略小于θ（θ>0时）。随着n增大，动点逐渐靠近单位圆上辐角为θ的点，模趋于1，辐角趋于θ。结论：lim(1+iθ/n)ⁿ = cosθ + i sinθ，即 e^(iθ)。

常见问题

为什么n次幂后的模会趋于1？

模为 (1+θ²/n²)^(n/2)，其对数约为 θ²/(2n)，当n→∞时趋于0，所以模趋于1。

这个极限算是欧拉公式的证明吗？

它是一种推导思路，有助于直观理解。教材中也常用幂级数证明，两种定义是等价的。