单位圆上的 e^(iθ)

实验目的

理解 e^(iθ) 的几何意义，认识欧拉公式及其特殊取值。

实验原理

欧拉公式：e^(iθ)=cosθ+i·sinθ，θ 取弧度。其模 |e^(iθ)|=cos²θ+sin²θ 的算术平方根，恒为 1，所以点在单位圆上，辐角为 θ。θ 增加 2π 回到原位，因此周期为 2π。取 θ=π 得 e^(iπ)=-1，即 e^(iπ)+1=0。

实验器材

• 复平面与单位圆
• 角度 θ 的滑块（弧度）
• 单位圆上的点 e^(iθ)
• 实部 cosθ 与虚部 sinθ 的显示
• 特殊角标记

实验步骤

1. 从 θ=0 开始，确认 e^(i0)=1，点在正实轴上。
2. 缓慢增大 θ，观察点沿单位圆逆时针运动。
3. 令 θ=π/2，读出点的坐标，确认 e^(iπ/2)=i。
4. 令 θ=π，确认 e^(iπ)=-1，即 e^(iπ)+1=0。
5. 令 θ 增至 2π，观察点回到起点，体会周期性。

实验现象与结论

e^(iθ) 始终落在单位圆上，横坐标是 cosθ，纵坐标是 sinθ。θ=0、π/2、π、3π/2、2π 时，点分别对应 1、i、-1、-i、1。θ 每增加 2π，点回到原位。

常见问题

欧拉公式中的 θ 用角度还是弧度？

必须用弧度。例如 e^(iπ)=-1 中的 π 表示 180°。

为什么 e^(iθ) 的模恒为 1？

因为 cos²θ+sin²θ=1，所以 cosθ+i·sinθ 的模为 1。