复数的模与辐角

实验目的

理解复数的模与辐角的几何意义，会在直角坐标形式与三角形式之间转换。

实验原理

设 z=a+bi，模 |z|=r=√(a²+b²)。以正实轴为始边、向量 Oz 为终边的角 θ 称为辐角，满足 a=r·cosθ，b=r·sinθ，所以 z=r(cosθ+i·sinθ)。辐角不唯一，可相差 2π 的整数倍；复数 0 没有确定的辐角。

实验器材

• 复平面（实轴、虚轴）
• 可拖动的复数点 z
• 从原点到 z 的向量
• 模 r 的数值显示
• 辐角 θ 的数值与角度标注
• 实部 a、虚部 b 的显示

实验步骤

1. 拖动点 z，观察实部 a、虚部 b 的变化。
2. 观察从原点到 z 的线段长度，对照模 r=√(a²+b²)。
3. 沿同一条射线移动 z，观察模改变而辐角不变。
4. 绕原点旋转 z（保持距离不变），观察辐角改变而模不变。
5. 把 z 移到第二、三象限，注意辐角与 tanθ=b/a 的符号关系。

实验现象与结论

z 到原点的距离就是模；与正实轴的夹角就是辐角。沿射线移动只改变模，绕原点转动只改变辐角。用 r 和 θ 可以写出 z=r(cosθ+i·sinθ)，与 a+bi 表示同一个点。

常见问题

辐角为什么不唯一？

角度加减 2π 的整数倍后终边不变，所以辐角有无数个，常取其中一个作主值。

已知 a、b 如何求辐角？

先由 tanθ=b/a 得到参考角，再按 z 所在象限确定 θ，不能只看正切值。