乘以 i 就是转 90°

实验目的

理解乘以 i 的几何意义，并用旋转解释 i 的各次幂。

实验原理

设 z=a+bi，则 iz=ai+bi²=-b+ai，点 (a,b) 变为 (-b,a)，模不变，逆时针旋转 90°。这也符合 i=cos90°+i·sin90° 时“模相乘、辐角相加”的结论。i²=-1 对应转 180°，i³=-i 对应转 270°，i⁴=1 回到原位。

实验器材

• 复平面
• 可拖动的复数点 z
• 点 iz
• 点 i²z（即 -z）
• 点 i³z
• 旋转角度标注

实验步骤

1. 拖动 z 到某个位置，记下它的坐标 (a,b)。
2. 观察 iz 的位置，核对坐标是否为 (-b,a)。
3. 比较 z 与 iz 到原点的距离和夹角，确认模不变、转了 90°。
4. 继续观察 i²z、i³z，确认依次再转 90°。
5. 观察 i⁴z 与 z 重合，体会 i⁴=1。

实验现象与结论

iz 与 z 到原点的距离相等，且 iz 由 z 绕原点逆时针转 90° 得到。连续乘 i，点依次转 90°、180°、270°、360°，对应 i、-1、-i、1。

常见问题

乘以 -i 是什么变换？

-i 的模为 1、辐角为 -90°，所以乘以 -i 是顺时针旋转 90°。

为什么 i²=-1 对应旋转 180°？

连续乘两次 i 转了两个 90°，即 180°，点 z 变成 -z，正好对应乘以 -1。