从泰勒级数推出欧拉公式

实验目的

了解用泰勒级数推导欧拉公式的过程，认识 i 的幂次循环的作用。

实验原理

e^x=1+x+x²/2!+x³/3!+…；cos x=1-x²/2!+x⁴/4!-…；sin x=x-x³/3!+x⁵/5!-…。令 x=iθ，利用 i²=-1，i³=-i，i⁴=1，把实数项合并得 cosθ 的级数，含 i 的项合并得 i·sinθ 的级数，所以 e^(iθ)=cosθ+i·sinθ。

实验器材

• e^x 的泰勒级数各项
• cos x 的泰勒级数各项
• sin x 的泰勒级数各项
• i 的幂次表（i、-1、-i、1）
• 部分和逼近曲线

实验步骤

1. 写出 e^x、cos x、sin x 的泰勒级数前几项。
2. 把 x 换成 iθ，计算每一项里 i 的幂。
3. 根据 i 的幂次循环，判断每一项是实数还是含 i。
4. 把实数项归为一组，与 cosθ 的级数对照。
5. 把含 i 的项归为一组，提出 i 后与 sinθ 的级数对照。
6. 增加项数，观察部分和曲线越来越接近 cosθ 与 sinθ。

实验现象与结论

代入 x=iθ 后，偶次项全是实数，且符号正负交替，恰好是 cosθ 的级数；奇次项都含 i，提出 i 后是 sinθ 的级数。项数越多，部分和越接近对应函数，得到 e^(iθ)=cosθ+i·sinθ。

常见问题

为什么可以把级数的项重新分组？

这些幂级数在整个复平面上绝对收敛，因此可以按奇偶次项重新排列、分别求和。

推导中用到 i 的哪些性质？

用到 i²=-1，从而 i³=-i、i⁴=1，幂次每 4 次循环一遍。