导数与函数的单调性、极值

实验目的

理解导数符号与函数单调性的关系，掌握用导数判断极值点的方法。

实验原理

在区间内，若 f'(x)>0，则 f(x) 单调递增；若 f'(x)<0，则 f(x) 单调递减。若 f'(x0)=0，且 x0 左右两侧 f'(x) 由正变负，则 f(x0) 为极大值；由负变正，则 f(x0) 为极小值。f'(x0)=0 只是极值的必要条件，例如 f(x)=x^3 在 x=0 处导数为 0，但没有极值。

实验器材

• 函数 f(x) 的图像
• 导函数 f'(x) 的符号或图像
• 曲线上的切点与切线
• 单调递增区间
• 单调递减区间
• 极大值点与极小值点

实验步骤

1. 观察函数图像，先凭直觉判断哪些区间上升、哪些区间下降
2. 沿曲线移动切点，观察切线斜率的正负变化
3. 把切线斜率符号与 f'(x) 的正负对应起来
4. 找出 f'(x)=0 的点，检查其左右两侧导数符号是否改变
5. 据此写出单调区间，并判断各点是极大值点、极小值点还是都不是

实验现象与结论

切线斜率为正的区间，曲线上升；斜率为负的区间，曲线下降。在极值点处切线水平，导数为 0，且两侧导数符号相反。若导数为 0 但两侧符号不变，则该点不是极值点。结论：可用 f'(x) 的符号确定单调区间，并判断极值。

常见问题

f'(x0)=0 就一定是极值点吗？

不一定。还要看 x0 两侧 f'(x) 的符号是否改变。如 f(x)=x^3 在 x=0 处导数为 0，但函数单调递增，没有极值。

如何用导数求函数的单调区间？

先求定义域和 f'(x)，解 f'(x)>0 得递增区间，解 f'(x)<0 得递减区间，区间要在定义域内表示。