辅助角公式 a sin x + b cos x

实验目的

掌握 a sin x + b cos x 的合并方法，会确定振幅和辅助角。

实验原理

a sin x + b cos x = √(a²+b²)·[a/√(a²+b²)·sin x + b/√(a²+b²)·cos x]。令 cosφ=a/√(a²+b²)，sinφ=b/√(a²+b²)，由两角和的正弦公式得 a sin x + b cos x = √(a²+b²) sin(x+φ)。φ 所在象限由 a、b 的符号确定。

实验器材

• 系数 a、b 的调节控件
• 曲线 y=a sin x + b cos x
• 合并后的曲线 y=√(a²+b²)sin(x+φ)
• 点 (a,b) 及其与原点连线构成的角 φ

实验步骤

1. 给定 a、b，观察 y=a sin x 与 y=b cos x 两条曲线。
2. 观察它们相加所得的曲线，仍是正弦型曲线。
3. 读出点 (a,b) 到原点的距离 √(a²+b²)，它就是振幅。
4. 读出点 (a,b) 的方位角 φ，作为辅助角。
5. 对比合并后的曲线与原曲线，确认二者重合。
6. 改变 a、b 的符号，观察 φ 所在象限的变化。

实验现象与结论

两条曲线完全重合，说明 a sin x + b cos x = √(a²+b²) sin(x+φ)。函数的最大值为 √(a²+b²)，最小值为 −√(a²+b²)，周期为 2π。

常见问题

辅助角 φ 怎么确定？

由 cosφ=a/√(a²+b²)、sinφ=b/√(a²+b²) 同时确定，不能只看 tanφ=b/a。

a sin x + b cos x 的最大值是多少？

化为 √(a²+b²) sin(x+φ) 后，最大值是 √(a²+b²)，最小值是它的相反数。