两角和与差公式的几何解释

实验目的

借助单位圆理解两角差的余弦公式的推导，并由此推出其余和差公式。

实验原理

设单位圆上 A(cosα, sinα)，B(cosβ, sinβ)，则 |AB|²=2−2(cosαcosβ+sinαsinβ)。把 A、B 绕原点旋转，使 B 落在点 (1,0)，A 到达 (cos(α−β), sin(α−β))，此时 |AB|²=2−2cos(α−β)。两式相等得 cos(α−β)=cosαcosβ+sinαsinβ。以 −β 代 β，并用诱导公式，可得其余公式。

实验器材

• 单位圆及坐标轴
• 角 α、β 的终边与交点 A、B
• 弦 AB
• 旋转后的点与弦
• 可拖动的角度控件

实验步骤

1. 在单位圆上取角 α、β，找到终边与圆的交点 A、B。
2. 读出 A、B 的坐标，用两点间距离公式表示 |AB|²。
3. 拖动 α、β，观察弦 AB 的长度随角度差变化。
4. 把图形绕原点旋转，使 B 落在 (1,0)，再写出此时的 |AB|²。
5. 令两种表达式相等，得到 cos(α−β) 公式。
6. 以 −β 代 β，推出 cos(α+β)，再得到正弦公式。

实验现象与结论

旋转前后弦 AB 的长度不变，只由 α−β 决定。由此得 cos(α−β)=cosαcosβ+sinαsinβ，再得 cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ，sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ。

常见问题

为什么可以通过旋转来比较弦长？

旋转不改变两点间的距离，所以旋转前后的 |AB| 相等，这是推导的关键。

怎样从 cos(α−β) 得到 cos(α+β)？

把 β 换成 −β，并利用 cos(−β)=cosβ、sin(−β)=−sinβ 即可。