用二分法求方程的近似解

实验目的

掌握用二分法求方程近似解的步骤。

实验原理

若函数 f(x) 在区间 [a,b] 上连续，且 f(a)·f(b)<0，则区间内至少有一个零点。取中点 c=(a+b)/2，比较 f(c) 与两端点函数值的符号，保留两端函数值异号的那一半区间，重复进行，直到区间长度小于给定精确度。

实验器材

• 函数 f(x) 的图像
• 初始区间 [a,b]
• 区间中点及其函数值
• 每次迭代的区间记录表
• 精确度ε的设定

实验步骤

1. 选定函数，找到使 f(a)·f(b)<0 的初始区间。
2. 取区间中点c，计算 f(c)。
3. 判断符号：f(c) 与哪个端点异号，就保留那一侧。
4. 重复取中点，记录每次的新区间。
5. 当区间长度小于精确度ε时停止，取区间内任一值作近似解。

实验现象与结论

每次迭代后区间长度缩小为原来的一半，零点始终被夹在保留的区间内，区间两端逐步逼近图像与x轴的交点。结论：只要满足连续且端点函数值异号，二分法就能得到满足精确度要求的近似解。

常见问题

二分法对函数有什么要求？

函数在区间上连续，且区间两端点函数值异号，即 f(a)·f(b)<0。

二分法能求所有零点吗？

不能。它只适用于函数值在零点两侧变号的零点，且每次只在选定区间内求解。