科赫雪花

实验目的

了解科赫曲线的生成方法，探究迭代次数与边数、周长、面积之间的关系。

实验原理

将线段三等分，以中间一段为边向外作正三角形，再去掉这一段中间的底边，一条边就变为 4 条，每条长度为原来的 1/3。第 n 次迭代后，边数为 3×4^n，周长为原周长的 (4/3)^n 倍，趋向无穷大；而面积趋近于原三角形面积的 8/5，是有限值。其分形维数为 log4/log3 ≈ 1.262。

实验器材

• 初始正三角形
• 各次迭代后的图形
• 每条边的三等分点
• 新增的小正三角形
• 迭代次数

实验步骤

1. 观察初始的正三角形，数出边数 3 和周长。
2. 将每条边三等分，以中间一段为边向外作正三角形。
3. 去掉中间一段的底边，得到六角星形，共 12 条边。
4. 对新图形的每条边重复同样的操作，继续迭代。
5. 逐次记录边数和周长，比较面积的变化。

实验现象与结论

图形逐渐由三角形变为六角星，再变为边缘越来越细碎的雪花形。边数依次为 3、12、48……，周长每次变为原来的 4/3，可以无限增大。面积每次只增加一小部分，并趋近于原三角形面积的 8/5。这说明图形的周长可以无限，面积却可以有限。

常见问题

科赫雪花的周长为什么是无限的？

每次迭代周长变为原来的 4/3，(4/3)^n 随 n 增大没有上限，所以周长趋向无穷大。

科赫雪花的面积有多大？

面积不会无限增大，极限等于初始正三角形面积的 8/5。