谢尔宾斯基三角形

实验目的

认识分形的自相似性，探究迭代次数与三角形个数、剩余面积之间的规律。

实验原理

取一个正三角形，连接三边中点，分成 4 个全等的小正三角形，挖去中间一个；再对剩下的每个三角形重复同样操作。第 n 次迭代后，剩余小三角形有 3^n 个，边长为原来的 1/2^n，剩余面积为原来的 (3/4)^n，随 n 增大趋近于 0。其分形维数为 log3/log2 ≈ 1.585。

实验器材

• 初始正三角形
• 各次迭代后的图形
• 三边中点
• 被挖去的中间三角形
• 迭代次数

实验步骤

1. 观察初始的正三角形，记作第 0 次，三角形个数为 1。
2. 连接三边中点，找出中间被挖去的倒置小三角形。
3. 对剩下的每个小三角形重复同样的操作，进入下一次迭代。
4. 逐次增加迭代次数，记录剩余三角形的个数。
5. 放大某一个局部，对比它与整体图形是否相似。

实验现象与结论

随着迭代次数增加，图形越来越镂空，但轮廓仍是大三角形。任取其中一个小三角形放大，都与整体相同。三角形个数依次为 1、3、9、27……，剩余面积依次为原来的 1、3/4、9/16……，都成等比数列。这说明分形可以由简单规则反复迭代生成。

常见问题

谢尔宾斯基三角形的面积最后是多少？

每次迭代剩余面积变为上一次的 3/4，所以第 n 次为原来的 (3/4)^n，趋近于 0。

它的分形维数是多少？

每次缩小为 1/2 的 3 个副本拼成，维数为 log3/log2，约等于 1.585。