二次型与椭圆互动演示

实验目的

理解二次型的矩阵表示及特征值、特征向量与椭圆主轴的关系。

实验原理

二次型 f(x) = x^T A x，A 为实对称矩阵。经正交变换 x = Qy 化为标准形 f = λ₁y₁² + λ₂y₂²，λ₁、λ₂ 为 A 的特征值，Q 的列为对应的单位特征向量。曲线 f = 1：两特征值都为正时是椭圆，半轴长 1/√λ₁、1/√λ₂；一正一负时是双曲线。

实验器材

• 对称矩阵 A 的元素滑块
• 曲线 x^T A x = 1
• 特征向量方向的主轴
• 特征值 λ₁、λ₂ 的读数
• 标准形表达式

实验步骤

1. 设定 A 为对角矩阵，观察曲线与坐标轴对齐的椭圆。
2. 改变非对角元素，观察椭圆发生旋转。
3. 显示特征向量方向，核对它们与椭圆主轴重合。
4. 读出 λ₁、λ₂，比较半轴长与 1/√λ 的关系。
5. 调整元素使某个特征值变为负数，观察曲线变为双曲线。
6. 写出对应的标准形，判断二次型是否正定。

实验现象与结论

非对角元素不为0时，椭圆的主轴不再与坐标轴重合，而是沿特征向量方向。特征值越大，对应方向上的半轴越短。两特征值均为正时曲线为椭圆；一正一负时为双曲线。结论：特征值决定轴长，特征向量决定轴向。

常见问题

二次型正定意味着什么？

意味着对任何非零向量 x 都有 x^T A x > 0，即 A 的特征值全为正，曲线 f = 1 是椭圆。

为什么要用对称矩阵表示二次型？

对称矩阵一定可以正交对角化，便于用特征值化为标准形，且表示是唯一的。