幂级数的收敛半径

实验目的

理解收敛半径的含义，会判断 x 在收敛区间内外时幂级数的收敛情况。

实验原理

对幂级数 Σ an(x−x0)^n，存在 R（0≤R≤+∞），使 |x−x0|<R 时级数绝对收敛，|x−x0|>R 时级数发散。R 可由 1/R = lim sup |an|^(1/n) 求得；若 lim |a(n+1)/an| 存在，也可用它的倒数。x = x0±R 处可能收敛也可能发散，须单独判断。

实验器材

• 幂级数的通项与系数
• 取值点 x
• 部分和曲线或数值
• 收敛区间标示

实验步骤

1. 选定一个幂级数，记下它的系数 an 和中心 x0。
2. 把 x 取在 x0 附近，观察部分和随项数增加的变化。
3. 逐步增大 |x−x0|，观察部分和何时不再趋于稳定。
4. 找出收敛与发散的分界，估计收敛半径 R。
5. 单独检验 x = x0±R 两个端点。

实验现象与结论

x 落在收敛区间内时，部分和随项数增加趋于稳定；超出区间后，部分和越来越大或来回振荡。例如 Σ x^n/n 的 R=1，x=−1 时收敛，x=1 时发散。结论：收敛半径是收敛与发散的分界，端点须单独检验。

注意事项

• 端点处的收敛性不能由收敛半径直接推出。
• 有限项部分和只能作直观判断，不能代替证明。

常见问题

收敛半径为 0 或无穷大是什么意思？

R=0 表示仅在 x0 处收敛，如 Σ n!x^n；R=∞ 表示对所有 x 都收敛，如 Σ x^n/n!。

怎样求幂级数的收敛半径？

常用比值法：若 lim |a(n+1)/an| = L 存在且不为 0，则 R = 1/L；也可用根值法。