傅里叶级数逼近方波

实验目的

理解周期函数可以分解为正弦函数之和，观察项数对逼近效果的影响。

实验原理

周期为 2π、在 (0,π) 上取 1、在 (−π,0) 上取 −1 的方波，傅里叶级数为 f(x) = (4/π)[sin x + sin3x/3 + sin5x/5 + …]，只含奇次正弦项。取前 N 项得到部分和。在跳变点处，级数收敛到左右极限的平均值 0。

实验器材

• 方波曲线
• 各次谐波正弦曲线
• 傅里叶级数部分和曲线
• 项数 N 调节控件

实验步骤

1. 观察目标方波，记下它的周期和幅值。
2. 把项数设为 1，观察只有基波时与方波的差别。
3. 逐项增加谐波，观察部分和曲线的变化。
4. 把项数增大到较大值，观察平台部分和上升沿。
5. 重点观察跳变点附近的过冲，比较不同项数下的情况。

实验现象与结论

项数越多，部分和越接近方波的平台部分，上升沿越陡。跳变点附近始终有过冲，过冲高度约为跳变量的 9%，不随项数增加而消失，只是区域变窄，这就是吉布斯现象。结论：在连续点处级数逐点收敛，在间断点附近会出现振荡。

常见问题

为什么方波的傅里叶级数只有奇次谐波？

这里的方波是奇函数，只含正弦项；又因半周期对称，偶次谐波的系数为零。

吉布斯现象会随项数增加而消失吗？

不会。过冲高度仍约为跳变量的 9%，只是出现的区域随项数增加而变窄。