矩阵就是线性变换

实验目的

理解矩阵对应线性变换，会由矩阵的列读出基向量的像。

实验原理

矩阵 A 对应变换 T(x) = Ax，满足 T(u+v) = T(u)+T(v) 和 T(cu) = cT(u)，即线性变换。A 的列是标准基向量 e1、e2 的像：A = [[a, b], [c, d]] 时，e1 变为 (a, c)，e2 变为 (b, d)。变换后原点不动，直线仍是直线，网格线保持平行且等距。det A 的绝对值是面积缩放倍数。

实验器材

• 平面坐标网格
• 基向量 e1、e2 及其像
• 2×2 矩阵元素调节控件
• 行列式读数

实验步骤

1. 先观察单位矩阵作用下网格不变。
2. 改变第一列，观察 e1 的像和网格的变化。
3. 改变第二列，观察 e2 的像和网格的变化。
4. 尝试旋转、拉伸、剪切等典型矩阵。
5. 让两列共线，观察 det A=0 时的结果。

实验现象与结论

改变矩阵元素，网格随之变形，但原点保持不动，网格线仍为直线，且保持平行、等距。第一列和第二列分别决定 e1、e2 的像。det A 的绝对值为面积缩放倍数；det A=0 时平面被压缩到一条直线或一个点。

常见问题

为什么矩阵的列是基向量的像？

因为 Ae1 恰好是 A 的第一列，Ae2 是第二列，任何向量的像都由它们线性组合得到。

det A = 0 时变换有什么特点？

平面被压缩到一条直线或一个点，不同的点可能被映到同一点，变换不可逆。