矩阵乘法是变换的复合

实验目的

理解矩阵乘法对应线性变换的复合，明白乘法顺序为什么重要。

实验原理

先作用变换 B，再作用变换 A，向量 x 变为 A(Bx)。由矩阵乘法的结合律，A(Bx) = (AB)x，所以复合变换对应的矩阵是 AB，书写顺序与作用顺序相反（从右向左）。AB 的第 j 列是 A 作用于 B 的第 j 列所得。一般 AB ≠ BA，且 det(AB) = det A · det B。

实验器材

• 矩阵 A 与矩阵 B
• 平面网格或图形
• 逐步变换显示
• 乘积矩阵 AB 与 BA

实验步骤

1. 选定两个矩阵 A 和 B，例如一个旋转、一个拉伸。
2. 先作用 B，观察图形的变化。
3. 再作用 A，记录最终图形的位置。
4. 改为直接作用乘积矩阵 AB，对比结果。
5. 交换顺序，作用 BA，比较两次结果。

实验现象与结论

先 B 后 A 的结果与直接作用 AB 一致；交换顺序得到 BA，通常给出不同的结果。结论：矩阵乘积对应变换的复合，作用顺序从右向左，矩阵乘法一般不满足交换律。

注意事项

• 读乘积 AB 时，先作用的是右边的矩阵 B。

常见问题

为什么矩阵乘法一般不满足交换律？

因为变换的先后顺序会影响结果，如先旋转再沿 x 轴拉伸，与先拉伸再旋转，图形通常不同。

矩阵乘法为什么这样定义？

这样定义使乘积矩阵恰好对应两个线性变换的复合，满足 A(Bx) = (AB)x。