二次函数区间上的最值（定轴动区间、动轴定区间）

实验目的

掌握对称轴与区间的位置关系对最值的影响，学会按位置分类讨论。

实验原理

设 f(x)=a(x−h)²+k，在 [m,n] 上讨论。以 a>0 为例：h 在区间内时，最小值为 k，最大值在离对称轴较远的端点取得；h 在区间左侧时，f 单调递增，最小值为 f(m)，最大值为 f(n)；h 在区间右侧时，f 单调递减，最小值为 f(n)，最大值为 f(m)。a<0 时情形相反。

实验器材

• 二次函数图像 f(x)=a(x−h)²+k
• 对称轴 x=h
• 闭区间 [m,n]
• 区间端点的滑块
• 对称轴位置的滑块
• 最大值点、最小值点的标记

实验步骤

1. 选择定轴动区间，固定对称轴，拖动区间从左向右移动。
2. 记录区间在对称轴左侧、包含对称轴、右侧时的最值点。
3. 切换到动轴定区间，固定区间，拖动对称轴的位置。
4. 同样记录三种位置关系下的最大值点和最小值点。
5. 把 a 改为负数，重复观察并比较结果。

实验现象与结论

对称轴在区间内时，最值之一在顶点取得，另一个在离轴较远的端点取得。对称轴在区间外时，函数在区间上单调，最值都在端点取得。a 的符号改变后，最大值与最小值的位置互换。

常见问题

为什么要分类讨论？

对称轴与区间的位置不同，函数在区间上的单调性不同，最值所在的点也就不同。

最大值一定在端点取得吗？

不一定。a>0 时最大值在端点取得，a<0 且对称轴在区间内时，最大值在顶点取得。