二次函数应用：利润最大化

实验目的

学会列出利润的二次函数关系式，并求最大利润及对应的售价。

实验原理

总利润=单件利润×销量。当销量随售价按一次函数规律变化时，总利润 w 是售价 x 的二次函数。若二次项系数为负，抛物线开口向下，w 在顶点处取得最大值。求解时要结合 x 的取值范围，若顶点不在范围内，则最大值在端点处取得。

实验器材

• 售价（或涨价幅度）的滑块
• 单件利润的显示
• 销量的显示
• 总利润 w 的函数图像
• 图像顶点
• 自变量取值范围的标注

实验步骤

1. 读题，明确进价、原售价和销量随售价变化的规律。
2. 设售价或涨价幅度为 x，分别写出单件利润和销量的表达式。
3. 写出总利润 w 关于 x 的二次函数，并化为顶点式。
4. 拖动滑块，观察总利润的变化，找到图像最高点。
5. 检查 x 的取值范围，写出最大利润及对应的定价。

实验现象与结论

随着售价提高，总利润先增大后减小，抛物线开口向下，最高点对应最大利润。顶点横坐标在自变量允许的范围内时，最大利润就在顶点处取得；若实际要求取整数，需要比较顶点附近的整数点。

常见问题

利润问题中为什么要注意自变量的取值范围？

售价、销量都有实际限制，顶点不在范围内时，最大值要在端点取得。

利润最大时的售价怎么求？

把 w 化为顶点式或用 x=−b/(2a)，在范围内即可得到最大利润时的 x。