勾股数

实验目的

理解勾股数的含义，会判断一组正整数是否为勾股数。

实验原理

若三个正整数 a、b、c 满足 a²+b²=c²，则称它们为一组勾股数。由勾股定理的逆定理，以它们为边长的三角形是直角三角形，c 为斜边。若 a、b、c 是勾股数，则 ka、kb、kc（k 为正整数）也是勾股数。例如 3、4、5 扩大 2 倍得到 6、8、10。

实验器材

• 三条边长为整数的三角形
• 边长 a、b、c 及其平方值
• 常见勾股数：3、4、5；5、12、13；8、15、17
• 不是勾股数的对照数组

实验步骤

1. 观察三角形的三条边长 a、b、c，其中 c 最大
2. 分别计算 a²、b² 和 c²
3. 比较 a²+b² 与 c² 是否相等
4. 确认 3、4、5 满足 9+16=25，是勾股数
5. 把一组勾股数同乘正整数 k，再次验证
6. 换一组不满足关系的数，如 4、5、6，对比结果

实验现象与结论

3、4、5 满足 3²+4²=5²，三角形是直角三角形。同乘 2 得到 6、8、10，仍满足关系。4、5、6 中 16+25=41，不等于 36，所以不是勾股数，也不能构成直角三角形。

常见问题

常见的勾股数有哪些？

常见的有 3、4、5；5、12、13；6、8、10；7、24、25；8、15、17。它们的整数倍也是勾股数。

怎样判断三个数是不是勾股数？

先确认它们都是正整数，再看最小两数的平方和是否等于最大数的平方。相等就是勾股数。