几何与向量实验

几何与向量相关的数学实验 21 个，覆盖初中、高中、大学：每个实验都有原理、器材、步骤和现象，可在线打开三维互动实验，当作互动课件在课堂上演示，也适合学生课后自己动手探究。

• 两角和与差公式的几何解释在单位圆上用两点间距离和旋转不变性，推导 cos(α−β) 公式，并进一步得到两角和与差的…
• 勾股定理的证明（赵爽弦图）用四个全等直角三角形拼成赵爽弦图，通过大正方形面积的两种算法推导 a²+b²=c²，理解勾…
• 拼图验证勾股定理通过拖动、拼合全等直角三角形和正方形，比较拼成图形的面积，直观验证直角三角形两直角边平方和…
• 勾股定理的欧几里得证明动态演示欧几里得在《几何原本》中的证明：利用全等三角形和面积关系，说明斜边上的正方形面积等…
• 勾股定理的更多证法通过动态拼图，用面积割补的方法演示勾股定理 a²+b²=c² 的多种证明，观察图形如何拆分…
• 倒水验证勾股定理把两个直角边正方形容器中的水倒入斜边正方形容器，观察水量是否恰好装满，直观验证 a²+b²…
• 勾股数通过动态演示认识满足 a²+b²=c² 的正整数组，如 3、4、5，并验证它们能构成直角三…
• 斜二测画法与空间几何体直观图按斜二测画法的规则，把平面图形或几何体画成直观图，观察坐标轴夹角及线段长度的变化。
• 空间几何体展开图动态演示动态展开和折叠圆柱、圆锥、圆台、棱柱、棱锥等几何体，观察侧面展开图的形状及其与表面积的联系。
• 几何体的截面演示用平面去截正方体、圆锥、圆柱等几何体,改变截平面的位置和方向,观察截面形状如何变化,并判断…
• 空间几何体的外接球与内切球旋转观察正方体、长方体、正四面体的外接球与内切球，理解球心位置，推导球半径与棱长的关系。
• 空间向量与坐标运算在空间直角坐标系中表示向量,演示向量坐标的加减、数乘和数量积运算,以及长度、夹角、平行与垂…
• 离心率与圆锥曲线的形状拖动离心率 e 的数值，观察曲线如何在圆、椭圆、抛物线、双曲线之间变化，理解 e 的取值范…
• 用平面截圆锥得到圆锥曲线改变截平面的倾斜角度，观察平面截圆锥所得截线依次为圆、椭圆、抛物线、双曲线，理解“圆锥曲线…
• 丹德林双球与圆锥曲线的焦点用与圆锥和截面都相切的两个球，演示平面截圆锥得到椭圆，且两球与截面的切点正是椭圆的两个焦点。
• 圆锥曲线的光学性质演示拖动曲线上的反射点，观察椭圆、双曲线、抛物线对焦点发出光线的反射路径，理解圆锥曲线的光学性…
• 直线与圆锥曲线位置关系（判别式）改变直线的斜率和截距，观察直线与圆锥曲线相交、相切、相离的变化，并用联立方程后的判别式判断…
• 割线逼近切线(导数的几何意义)拖动动点使其沿曲线趋近切点,观察割线斜率如何趋近切线斜率,理解导数是差商的极限。
• 特征向量与特征值互动演示拖动向量并观察变换前后方向，找出变换后仍与原向量共线的特征向量，读出对应的特征值。
• 常见几何体与欧拉公式观察棱柱、棱锥等常见几何体的顶点、棱和面，数出各自数量，验证欧拉公式 V−E+F=2。
• 导数的几何意义让割线上的动点沿曲线无限靠近定点,观察割线趋近于切线,理解函数在某点的导数就是曲线在该点切…

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