中心极限定理：高尔顿板演示

实验目的

观察小球落点分布，理解二项分布向正态分布逼近及中心极限定理。

实验原理

小球经过 n 层钉子，每层以概率 p 向右，则向右次数 X 服从二项分布 B(n,p)，E(X)=np，D(X)=np(1−p)。当 n 较大时，X 近似服从 N(np, np(1−p))，这是棣莫弗—拉普拉斯定理，也是独立同分布情形下中心极限定理的特例。

实验器材

• 高尔顿板（钉阵）
• 小球
• 底部分槽与直方图
• 钉子层数 n
• 向右概率 p

实验步骤

1. 设置钉子层数 n 和向右概率 p
2. 投放少量小球，观察各槽分布
3. 增加小球数量，观察直方图形状变化
4. 增大层数 n，比较分布的宽度和形状
5. 改变 p，观察分布中心与对称性的变化

实验现象与结论

小球少时，分布杂乱不规则；小球增多后，中间槽小球多、两侧少，呈左右对称的钟形（p=0.5 时）。层数增加，分布更接近正态曲线且更宽。p 不等于 0.5 时，分布中心偏向一侧。结论：大量独立随机因素的叠加近似服从正态分布。

注意事项

• 小球数量少时形状不稳定，不能据此下结论
• p 偏离 0.5 且 n 较小时，正态近似较差

常见问题

高尔顿板为什么会得到钟形分布？

小球落点是多次独立左右选择之和，服从二项分布，层数较大时近似正态分布。

中心极限定理要求原分布是正态分布吗？

不要求。只要独立同分布且方差有限，样本均值标准化后在 n 较大时近似正态分布。