大数定律：频率的稳定性演示

实验目的

观察频率随试验次数增大而趋于概率的现象，理解大数定律的含义。

实验原理

设 n 次独立重复试验中事件 A 发生 n_A 次，每次发生的概率为 p。伯努利大数定律：对任意 ε>0，有 lim(n→∞) P(|n_A/n − p| < ε) = 1，即频率 n_A/n 依概率收敛于 p。更一般地，独立同分布且期望为 μ 的随机变量，其样本均值依概率收敛于 μ。

实验器材

• 模拟的随机试验（如抛硬币）
• 事件概率 p
• 试验次数 n
• 频率—试验次数曲线
• 理论概率参考线

实验步骤

1. 选择随机试验，确定事件及其理论概率 p
2. 先进行少量试验，记录频率并观察波动
3. 逐步增大试验次数，观察频率曲线的变化
4. 多次重新试验，比较不同轮次的曲线
5. 对比频率曲线与理论概率线，总结规律

实验现象与结论

试验次数较少时，频率波动大，与 p 的偏差可能明显；随着 n 增大，频率曲线的波动幅度逐渐变小，并稳定在 p 附近。不同轮次的曲线起点各异，但长期趋势一致。结论：大量重复试验中，频率具有稳定性，可用频率估计概率。

注意事项

• 频率趋近概率是“依概率收敛”，并非每次都严格逼近
• 大数定律不意味着前面偏多的结果会被“补回来”

常见问题

大数定律和中心极限定理有什么区别？

大数定律讲样本均值（频率）收敛到期望（概率）；中心极限定理讲均值偏离期望的分布形状近似正态分布。

为什么试验次数少时频率波动很大？

样本少时随机性的影响占主导，一两次结果就能明显改变频率；n 增大后单次结果的影响变小。