多边形的内角和与外角和

实验目的

推导并掌握n边形内角和公式，知道多边形外角和为360°。

实验原理

从n边形的一个顶点引对角线，可引n−3条，把它分成n−2个三角形。每个三角形内角和为180°，所以n边形内角和为(n−2)×180°。例如四边形360°，五边形540°，六边形720°。多边形的外角和（每个顶点取一个外角）等于360°，与边数无关。

实验器材

• 可调节边数的多边形
• 从一个顶点引出的对角线
• 分割得到的三角形
• 各内角度数及其和
• 各顶点处的外角

实验步骤

1. 选择边数n，从三角形开始。
2. 从一个顶点引出所有对角线，数一数分成几个三角形。
3. 计算(n−2)×180°，与内角度数之和对照。
4. 逐次增加边数，记录对角线条数、三角形个数和内角和。
5. 拖动顶点改变形状，观察内角和是否变化。
6. 显示各顶点的外角，观察外角和。

实验现象与结论

边数增加1，分成的三角形增加1个，内角和增加180°。拖动顶点改变形状后，只要边数不变，内角和不变。外角和始终是360°，不随边数改变。结论：n边形内角和为(n−2)×180°。

常见问题

正多边形的每个内角怎么算？

正n边形每个内角为(n−2)×180°÷n，例如正六边形每个内角是120°。

从一个顶点能引几条对角线？

n边形从一个顶点能引n−3条对角线，把多边形分成n−2个三角形。