中点四边形的形状探究

实验目的

探究中点四边形的形状，并用中位线定理说明理由。

实验原理

设E、F、G、H分别是四边形ABCD各边的中点，连接AC、BD。由三角形中位线定理，EF∥AC且EF=AC/2，HG∥AC且HG=AC/2，所以EFGH是平行四边形，FG=BD/2。若AC=BD，则为菱形；若AC⊥BD，则为矩形；两者同时成立，则为正方形。

实验器材

• 可拖动顶点的四边形ABCD
• 各边中点E、F、G、H
• 中点四边形EFGH
• 对角线AC、BD及度量数据

实验步骤

1. 观察四边形ABCD各边的中点，依次连接成四边形EFGH。
2. 拖动A、B、C、D，观察EFGH的形状变化。
3. 作出对角线AC、BD，观察它们与EF、FG的位置关系。
4. 调整使AC=BD，观察EFGH变成菱形。
5. 调整使AC⊥BD，观察EFGH变成矩形。
6. 调整使AC与BD既相等又垂直，观察EFGH变成正方形。

实验现象与结论

无论怎样拖动，EFGH都是平行四边形，且EF、HG平行于AC，FG、EH平行于BD。对角线相等时，中点四边形是菱形；对角线垂直时是矩形；对角线相等且垂直时是正方形。

常见问题

中点四边形的面积与原四边形有什么关系？

中点四边形的面积等于原四边形面积的一半。

为什么对角线相等时中点四边形是菱形？

邻边EF=AC/2，FG=BD/2。当AC=BD时，EF=FG，平行四边形有一组邻边相等，就是菱形。