三角形的内心、外心与重心

实验目的

掌握内心、外心、重心的作法和性质，了解它们在不同三角形中的位置。

实验原理

内心是三条角平分线的交点，到三边距离相等，是内切圆的圆心。外心是三边垂直平分线的交点，到三个顶点距离相等，是外接圆的圆心。重心是三条中线的交点，它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，即把每条中线分成2:1。

实验器材

• 可拖动顶点的△ABC
• 三条角平分线与内切圆
• 三边的垂直平分线与外接圆
• 三条中线及其交点

实验步骤

1. 显示三条角平分线，观察交点（内心）并画出内切圆。
2. 显示三边的垂直平分线，观察交点（外心）并画出外接圆。
3. 显示三条中线，观察交点（重心）并测量分段长度的比。
4. 拖动顶点，依次变成锐角、直角、钝角三角形，观察三个点的位置。
5. 把三角形调成等边三角形，观察三个点的位置关系。

实验现象与结论

三组线分别交于一点。内心到三边距离相等，外心到三顶点距离相等，重心分中线为2:1。内心和重心总在三角形内部；外心在锐角三角形内部，在直角三角形斜边中点，在钝角三角形外部。等边三角形的三心重合。

常见问题

直角三角形的外心在哪里？

在斜边的中点，外心到三个顶点的距离都等于斜边的一半。

什么三角形的内心、外心、重心重合？

等边三角形。三条角平分线、垂直平分线和中线分别重合，所以三个点是同一点。