勾股定理的证明（赵爽弦图）

实验目的

通过面积的两种表示方法，理解赵爽弦图对勾股定理的证明。

实验原理

设直角三角形的直角边为 a、b（b>a），斜边为 c。四个全等的直角三角形围成以 c 为边长的大正方形，中间空出边长为 b−a 的小正方形。大正方形面积 c² = 4×(1/2)ab + (b−a)² = 2ab + b² − 2ab + a²，化简得 a² + b² = c²。

实验器材

• 四个全等的直角三角形
• 以斜边c为边长的大正方形
• 中间边长为b−a的小正方形
• 直角边a、b与斜边c的标注

实验步骤

1. 观察直角三角形，认出两条直角边a、b和斜边c。
2. 按演示把四个全等的直角三角形围成大正方形。
3. 观察中间的小正方形，确认它的边长是b−a。
4. 用边长c表示大正方形的面积。
5. 再用四个三角形与小正方形的面积之和表示它。
6. 列出等式并化简，得到a²+b²=c²。

实验现象与结论

四个直角三角形围成的图形中间恰好空出一个小正方形，大正方形面积有两种算法，且两者相等。化简后得到 a²+b²=c²，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，这就是勾股定理。

常见问题

弦图中间小正方形的边长为什么是b−a？

每个直角三角形的长直角边比短直角边多b−a，围成后中间空出的正方形边长恰好是两条直角边之差。

勾股定理的逆定理是什么？

如果三角形三边满足a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形，例如边长为3、4、5的三角形。