重要极限 sin x / x

实验目的

理解并掌握重要极限 lim(x→0) sin x / x = 1 及其夹逼推导。

实验原理

在单位圆中，当 0<x<π/2 时，有 sin x < x < tan x，两边除以 sin x 并取倒数得 cos x < sin x / x < 1。当 x→0 时 cos x→1，由夹逼准则得 lim sin x / x = 1。因 sin x / x 是偶函数，左右极限相同。

实验器材

• y=sin x / x 的函数图像
• 可调节的x值
• 单位圆中的弧长、正弦线、正切线
• 函数值读数

实验步骤

1. 观察函数图像，注意 x=0 处函数无定义。
2. 取 x=1，0.5，0.1 等值，读出 sin x / x 的数值。
3. 让x取负值并趋近0，观察数值是否对称。
4. 在单位圆中比较 sin x、x、tan x 的大小。
5. 由 cos x < sin x / x < 1 说明极限为1。

实验现象与结论

x越接近0，sin x / x 的值越接近1，图像在 x=0 处断开，但左右两侧都趋于1，这是可去间断点。结论：lim(x→0) sin x / x = 1。

注意事项

• 公式中的x必须用弧度制。
• 极限为1只在x→0时成立，不能随意套用。

常见问题

为什么x必须用弧度？

推导用到弧长等于x（单位圆），只有弧度制下该结论才成立，用角度制则极限不是1。

这个极限有哪些常见推论？

例如 lim tan x / x = 1，lim(1−cos x)/x² = 1/2，它们都可由此推出。