自然常数 e 的由来演示

实验目的

理解 e 作为数列极限的来源,体会单调有界数列必有极限。

实验原理

当 n 取正整数时,数列 a_n=(1+1/n)^n 单调递增且有上界(小于 3),由单调有界准则知极限存在,记为 e,即 lim(n→∞)(1+1/n)^n = e ≈ 2.718281828…。例如 n=1 时为 2,n=10 时约 2.5937,n=100 时约 2.7048,n=1000 时约 2.7169。

实验器材

• 数列 a_n=(1+1/n)^n 的取值表
• n 的调节滑块或输入框
• 数列各项的变化图像
• 水平参考线 y=e
• 复利模型(本金 1,年利率 100%,一年分 n 期计息)

实验步骤

1. 观察复利模型:本金为 1,年利率 100%,一年分 n 期计息。
2. 令 n=1、2、10,记下 (1+1/n)^n 的数值。
3. 继续增大 n 到 100、1000、10000,对比数值变化。
4. 观察图像中的点是否一直上升,并与参考线 y=e 比较。
5. 思考:数值能否超过 e?为什么增长越来越慢?

实验现象与结论

n=1、2、10、100、1000、10000 时,数列值依次约为 2、2.25、2.5937、2.7048、2.7169、2.7181,逐项增大但增幅越来越小,始终不超过 e。结论:该数列单调有界,极限为 e≈2.71828。

注意事项

• e 是无理数,屏幕上的小数只是近似值。
• n 取得很大时,显示结果受计算精度限制。

常见问题

为什么 (1+1/n)^n 的极限存在?

该数列单调递增且有上界,由单调有界准则可知极限存在,这个极限被定义为 e。

e 约等于多少?

e≈2.718281828…,是无理数,也是自然对数 ln 的底数。