函数极限与连续

实验目的

理解函数极限的含义，并能判断函数在一点是否连续。

实验原理

lim(x→x₀) f(x)=A 的含义：对任意ε>0，存在δ>0，当 0<|x−x₀|<δ 时有 |f(x)−A|<ε。f(x)在x₀连续，指 f(x₀) 有定义，且 lim(x→x₀) f(x)=f(x₀)。左右极限都存在且相等时，极限才存在。

实验器材

• 函数图像
• 定点x₀
• 可移动的趋近点x
• 左极限与右极限的读数
• 函数值f(x₀)的标记

实验步骤

1. 选择一个函数，并确定要考察的点x₀。
2. 让x从x₀左侧趋近，读出f(x)的变化趋势。
3. 让x从x₀右侧趋近，读出f(x)的变化趋势。
4. 比较左极限、右极限，判断极限是否存在。
5. 再与f(x₀)比较，判断是否连续，并说明间断类型。

实验现象与结论

若左右极限存在且相等，则极限存在。极限值等于f(x₀)时函数连续；极限存在但不等于f(x₀)或f(x₀)无定义，为可去间断点；左右极限不相等为跳跃间断点；趋于无穷则为无穷间断点。

常见问题

f(x₀)没有定义，极限还可能存在吗？

可以。极限只考察x≠x₀时f(x)的趋势，与f(x₀)无关，但此时函数在x₀不连续。

连续需要满足哪几个条件？

f(x₀)有定义，极限 lim(x→x₀) f(x) 存在，并且极限值等于f(x₀)。