圆的垂径定理动态演示

实验目的

理解并验证垂径定理，会用半径、弦心距、半弦构造直角三角形求解。

实验原理

在⊙O中，若直径CD⊥弦AB于点E，则AE=BE，弧AC=弧BC，弧AD=弧BD。证明思路：连接OA、OB，因OA=OB，OE⊥AB，由等腰三角形三线合一得AE=BE，再由圆的轴对称性得弧相等。计算时 r² = d² + (a/2)²，其中r为半径，d为弦心距，a为弦长。

实验器材

• ⊙O及圆心O
• 弦AB
• 垂直于AB的直径CD
• 垂足E
• 半径OA
• 弦心距OE

实验步骤

1. 观察⊙O、弦AB和过圆心的直线CD。
2. 拖动弦AB的端点，改变弦的位置和长短。
3. 使CD垂直于AB，比较AE与BE的长度。
4. 比较弧AC与弧BC、弧AD与弧BD的大小。
5. 连接OA，在Rt△OAE中验证 r²=d²+(a/2)²。

实验现象与结论

当CD⊥AB时，AE与BE始终相等，弧AC与弧BC、弧AD与弧BD也相等；弦越靠近圆心，弦心距越小，弦越长，弦过圆心时就是直径。结论：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。

常见问题

垂径定理的逆命题成立吗？

平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。注意被平分的弦不能是直径。

已知半径和弦长怎么求弦心距？

作弦心距OE，在Rt△OAE中，d=√(r²−(a/2)²)，其中a为弦长。