旋转体的体积演示

实验目的

理解用定积分计算旋转体体积的思路,会用圆盘法求体积。

实验原理

曲线 y=f(x) 与直线 x=a、x=b 及 x 轴围成的图形绕 x 轴旋转,垂直于轴的薄片近似为圆盘,体积约为 π[f(x)]²dx,累加取极限得 V=π∫ab [f(x)]² dx。例:y=x,0≤x≤1 得圆锥,V=π/3;y=√(r²-x²),-r≤x≤r 得球,V=4πr³/3。

实验器材

• 平面图形(曲线 y=f(x) 与 x 轴围成)
• 旋转轴(x 轴)
• 旋转后形成的立体
• 圆盘个数 n 的滑块
• 圆盘体积之和与积分值的读数

实验步骤

1. 选择 y=√x,区间 [0,1],观察平面图形。
2. 让图形绕 x 轴旋转,观察形成的立体。
3. 把立体切成 n 个圆盘,从 n=5 开始。
4. 增大 n,观察圆盘体积之和的变化。
5. 与 V=π∫[f(x)]²dx 的计算结果对照,再换函数尝试。

实验现象与结论

n 增大时,圆盘体积之和不断趋近一个定值。y=√x 在 [0,1] 绕 x 轴旋转,V=π∫0^1 x dx=π/2;y=x 得圆锥 V=π/3,与圆锥体积公式 πr²h/3(r=h=1)一致。

注意事项

• 旋转轴不同,体积公式也不同。
• 区间上 f(x) 有正有负时,平方后再积分。

常见问题

绕 y 轴旋转的体积怎么算?

可把图形改写成 x=g(y),用 V=π∫[g(y)]²dy;也可用壳层法 2π∫x·f(x)dx。

为什么公式中是 f(x) 的平方?

每个薄片是半径为 |f(x)| 的圆盘,面积为 π[f(x)]²,再乘以厚度 dx。