牛顿–莱布尼茨公式演示

实验目的

理解定积分与原函数的联系,会用公式计算定积分。

实验原理

若 f 在 [a,b] 上连续,F 是 f 的一个原函数(F'=f),则 ∫ab f(x)dx = F(b)-F(a)。其依据是变上限积分 Φ(x)=∫ax f(t)dt 满足 Φ'(x)=f(x)。例:∫0^1 x²dx = [x³/3] 从 0 到 1 = 1/3;∫0^π sin x dx = [-cos x] 从 0 到 π = 2。

实验器材

• 被积函数 f(x) 的图像
• 积分上限 x 的滑块
• 累积面积函数 Φ(x) 的图像
• 原函数 F(x) 的取值读数
• F(b)-F(a) 与黎曼和的对照读数

实验步骤

1. 选择 f(x)=x²,下限 a=0,拖动上限 x。
2. 观察阴影面积与 Φ(x) 图像同步变化。
3. 比较 Φ(x) 在各点的斜率与 f(x) 的值。
4. 取 b=1,计算 F(1)-F(0),与面积读数对照。
5. 换成 f(x)=sin x,区间 [0,π],再验证一次。

实验现象与结论

累积面积 Φ(x) 随上限增大而变化,其切线斜率等于该点的 f(x)。f(x)=x² 在 [0,1] 上,F(1)-F(0)=1/3,与黎曼和的极限一致;sin x 在 [0,π] 上结果为 2。

注意事项

• 原函数不唯一,但 F(b)-F(a) 的结果相同。
• 应用公式前需确认 f 在区间上连续。

常见问题

原函数加常数 C 会影响结果吗?

不会。F(b)-F(a) 中常数 C 相互抵消,结果相同。

公式为什么说明积分与求导互逆?

因为变上限积分的导数等于被积函数,而积分值又由原函数的差给出。