黎曼和与定积分演示

实验目的

理解定积分是黎曼和的极限,体会“分割、近似、求和、取极限”。

实验原理

把 [a,b] 分成 n 个小区间,每个小区间取一点 ξi,作和 Σ f(ξi)Δxi,即黎曼和,表示 n 个小矩形面积之和。当最大区间长度趋于 0 时,若和的极限存在且与分法、取点无关,该极限称为 f 在 [a,b] 上的定积分 ∫ab f(x)dx。例:∫0^1 x²dx = 1/3。

实验器材

• 函数曲线 y=f(x)
• 积分区间 [a,b]
• 分割个数 n 的滑块
• 取点方式选项(左端点、右端点、中点)
• 小矩形与黎曼和读数

实验步骤

1. 选择 f(x)=x²,区间 [0,1],取 n=4。
2. 分别选左端点、右端点、中点,记录黎曼和。
3. 把 n 增大到 10、50、100,观察矩形的变化。
4. 比较三种取点方式的结果,与 1/3 对照。
5. 更换函数或区间,重复观察。

实验现象与结论

n=4 时,f(x)=x² 在 [0,1] 上左和为 0.21875,右和为 0.46875,中点和约 0.3281。n 增大后三者都趋近 1/3,矩形越窄,与曲线下面积的误差越小。结论:黎曼和的极限就是定积分。

注意事项

• f 在区间上有负值时,面积按代数和计算。
• n 很大时图形较密,注意看读数变化。

常见问题

取不同的点,黎曼和的极限会不同吗?

对可积函数不会。只要分割越来越细,取任何点,极限都是同一个定积分。

定积分一定表示面积吗?

不一定。它是代数和,x 轴下方的部分按负值计入。