棣莫弗公式演示

实验目的

理解并验证棣莫弗公式，掌握复数乘方的几何意义。

实验原理

棣莫弗公式：(cosθ+i sinθ)ⁿ = cos nθ + i sin nθ（n为整数）。用欧拉公式看，(e^(iθ))ⁿ = e^(inθ)。一般地，复数相乘时模相乘、辐角相加，所以n个相同的单位模复数相乘，辐角变为nθ。

实验器材

• 复平面与单位圆
• θ的调节滑块
• 整数n的调节滑块
• 点 z=cosθ+i sinθ
• 点 zⁿ 及其辐角标记

实验步骤

1. 设定θ，例如 θ=30°，标出点z。
2. 令 n=2，观察 z² 的位置与辐角。
3. 依次增大n，记录 z³、z⁴ 等点的辐角。
4. 对比 zⁿ 的辐角与 nθ，检验是否一致。
5. 改变θ，再次观察，并尝试令 nθ 超过360°。

实验现象与结论

zⁿ 始终落在单位圆上，辐角为 nθ（可相差360°的整数倍）。每乘一次z，点就沿圆再转过θ。结论：(cosθ+i sinθ)ⁿ = cos nθ + i sin nθ。

常见问题

棣莫弗公式能用来求cos3θ吗？

可以。把 (cosθ+i sinθ)³ 展开，与 cos3θ+i sin3θ 比较实部与虚部，即可得到 cos3θ 的表达式。

它能用来求单位根吗？

可以。zⁿ=1 的解为 cos(2kπ/n)+i sin(2kπ/n)，k=0,1,…,n−1，均匀分布在单位圆上。