用复指数表示正弦和余弦

实验目的

理解 sinθ、cosθ 的复指数表达式及其几何意义。

实验原理

由欧拉公式，e^(iθ)=cosθ+i sinθ，e^(−iθ)=cosθ−i sinθ。两式相加得 e^(iθ)+e^(−iθ)=2cosθ，两式相减得 e^(iθ)−e^(−iθ)=2i sinθ，因此 cosθ=(e^(iθ)+e^(−iθ))/2，sinθ=(e^(iθ)−e^(−iθ))/(2i)。

实验器材

• 复平面与单位圆
• θ的调节滑块
• 点 e^(iθ) 与点 e^(−iθ)
• 两向量之和
• 两向量之差

实验步骤

1. 调节θ，观察 e^(iθ) 与 e^(−iθ) 关于实轴对称。
2. 作两向量之和，观察其落在实轴上。
3. 读出和的一半，与 cosθ 的值比较。
4. 作两向量之差，观察其落在虚轴上。
5. 读出差除以2i的值，与 sinθ 比较。

实验现象与结论

无论θ取何值，e^(iθ) 与 e^(−iθ) 互为共轭，和为实数 2cosθ，差为纯虚数 2i sinθ。结论：cosθ=(e^(iθ)+e^(−iθ))/2，sinθ=(e^(iθ)−e^(−iθ))/(2i)。

常见问题

为什么 e^(iθ) 与 e^(−iθ) 的和是实数？

二者互为共轭复数，实部相同、虚部相反，相加后虚部抵消，只剩 2cosθ。

这个表达式有什么用？

可把三角函数的乘积、幂次化为指数运算，用于推导三角恒等式，也便于分析交流电与振动。