基与坐标变换

实验目的

理解基与坐标的概念，掌握同一向量在不同基下坐标的换算。

实验原理

基是线性无关且能张成整个空间的向量组。取基 B = {b1, b2}，若 x = c1b1 + c2b2，则 (c1, c2) 是 x 在基 B 下的坐标，记作 [x]_B。令 P = [b1 b2]，则 x = P[x]_B，[x]_B = P^(-1)x。向量本身不变，改变的只是坐标。

实验器材

• 标准基向量 e1、e2
• 自选基向量 b1、b2（可拖动）
• 待表示的向量 x
• 两组基下的坐标读数

实验步骤

1. 观察向量 x 在标准基下的坐标。
2. 拖动 b1、b2，选定一组新的基。
3. 观察 x 在新基下的坐标读数。
4. 改变基向量，观察同一向量的坐标如何变化。
5. 让 b1、b2 共线，观察还能不能构成基。

实验现象与结论

向量 x 的位置不变，选取不同的基时坐标随之改变。基向量线性无关时，平面内每个向量在该基下都有唯一一组坐标；基向量共线时不能构成基，坐标不再唯一或无法表示所有向量。

常见问题

一个空间的基是唯一的吗？

不唯一，但同一空间的任意基所含向量个数相同，这个个数就是空间的维数。

为什么基向量必须线性无关？

这样每个向量在该基下的坐标才唯一，表示方式才不会含糊。